:: Home » Numeri » #47 » MATEMATICA » La risonanza
1998
25
Nov

La risonanza

Commenti () - Page hits: 4500
La risonanza

In risposta al mio articolo sulla risonanza pubblicato nel numero di Maggio 1998, ho ricevuto questa interessante e-mail in cui vengono precisati alcuni concetti che, a causa delle semplificazioni che avevo apportato per rendere più intuitivo l'argomento, risultano incompleti e fisicamente poco corretti. Ho chiesto all'autore del messaggio il permesso di poterlo pubblicare perché gli approfondimenti in esso contenuti saranno senz'altro interessanti per chi desidera avere una visione un pò più approfondita dell'argomento.

Thomas Serafini


Il problema della risonaza, come di moltissimi altri problemi di Fisica, è che non è quasi mai possibile semplificarli all'osso senza lasciare indietro qualche cosa di MOLTO importante. Nel tuo articolo ho notato che in un paio di occasioni la necessità di semplificare porta a delle conclusioni errate. Il caso più evidente è il seguente. Cito:

"Ogni corpo, quando viene sollecictato da una forza (ad esempio se viene colpito oppure spinto), tende ad oscillare."

Non mi trovo daccordo con questa affermazione. Prendi un pallone e "applica una forza" (Non dagli semplicemente un calcio, perchè gli forniresti una energia iniziale, ma applicheresti una forza per un tempo troppo breve...). Il pallone parte, accelera, e se continui ad applicare la forza lui continua per la sua strada, accelerando sempre di più: non si ferma e ne torna indietro. Insomma non si mette certamente ad oscillare.
I fenomeni oscillatori avvengono SOLO quando il corpo sollecitato (nel tuo caso le sospensioni dell'auto, o il pallone...) reagisce alla sollecitazione con una forza che è proporzionale alla sollecitazione applicata, tramite, semmai, una costante moltiplicativa. Il cuoio che riveste il pallone mantiene (all'interno del pallone stesso) dell'aria ad una certa pressione. Quando l'aria viene compressa (facendo rimbalzare il pallone) reagisce con una forza proporzionale alla compressione. Se vogliamo vedere il fenomeno a livello molecolare possiamo notare come il diminiuto volume del pallone (al momento del rimbalzo) provoca un maggiore numero di collisioni tra molecola e molecola che compongono l'aria all'interno del pallone (azoto, ossigeno, anidride carbonica, e al giorno d'oggi anche piombo e chissa quali altre porcherie...) e tra molecola e cuoio che riveste il pallone. L'effetto netto è ancora una volta una forza che è proporzionale alla compressione.
Se la tua palla è fatto di titanio, che è solo minimamente comprimibile, il tuo pallone non rimbalza più. Le sospensioni dell'auto, lo stesso. Il pendolo e un caso un pò più complesso, perchè la sua reazione è proporzionale allo spostamento solo per piccoli angoli (per i quali sin x ~ x). Secondo 1(1) un pendolo con periodo di 1 s e un angolo di 2 gradi inizia a perdere 0.66 s al giorno (una enormità anche per orologi meccanici) se l'angolo diventa di 3 gradi.
È la curva cicloide (la "Bella Elena della Geometria") che fornisce la isocrona, ovvero la curva secondo la quale un pendolo deve muoversi per oscillare precisamente, ma un pendolo di questo tipo richiede, per la sua costruzione, un attrito tra le parti molto maggiore di un pendolo normale, e dunque orologi con movimenti basati sulla cicloide sono ancora meno precisi dei normali pendoli. Huygens fu il primo a cosrtruire un orologio basato sulla cicloide, ma a causa dei problemi di cui sopra, ritornò a meccanismi tradizionali limitati a piccoli angoli. Per una ottima trattazione delle molte altre proprietà della cicloide (per esempio per capire perchè quando un treno va avanti le sue ruote vanno all'indietro...) oltre a 1(1) si veda anche il fondamentale 2(2).

Facciamo un esempio.
Prendi il caso più semplice possibile di una molla, all'estremo della quale c'è una massa m. La molla è sollecitata da una forza F1 = mx'' dove x'' è la derivata seconda (rispetto al tempo) dello spostamento (assunto per semplicità lungo l'asse x). La molla oppone a questa sollecitazione una forza F2 = kx, che è proporzionale allo spostamento (x) tramite una costante di proporzionalità k (costante della molla). Il segno delle 2 forze è opposto perchè entrambi i vettori agiscono nella stessa direzione, ma in verso opposto. E dunque, eguagliando per trovare l'equilibrio: F1 = F2 ovvero

mx'' + kx = 0

Riconoscerai in questa equazione una semplice equazione differenziale a coefficienti costanti. Ho assunto le migliori condizioni iniziali possibili per semplicità. La soluzione di questa equazione è, come ben sai, nella forma di esponenziali complessi coniugati. Il fatto che gli esponenziali siano complessi coniugati (e quindi riconducibili a una forma del tipo A*sin(wt) + B*cos(wt)) rende ragione del fenomeno delle oscillazioni.

Essendo un fenomeno oscillatorio, quando due onde si sommano si ha la massima ampiezza quando le onde sono in fase come puoi dimostrare facilmente sommando due fasori con fase diversa e cercando un massimo dell'ampiezza dell'onda così ottenuta.

Per quanto riguarda i ponti e i soldati, vige nell'esercito l'ordine di camminare lungo i ponti in ordine sparso proprio per evitare che le oscillazioni causate dal passo dei soldati siano della stessa frequenza delle oscillazioni naturali del ponte. Ma non è solo dei soldati che un progettista di ponti deve preoccuparsi. Problemi ben più grandi (ma della medesima origine) sono causati dal vento, che può spirare con una frequenza uguale alla frequenza naturale di alcune grosse costruzioni.
Una delle spiegazioni plausibili per la caduta del ponte di Tacoma-Narrows 3(3) è proprio dovuta alla frequenza delle folate di vento in quella zona. Nel caso del ponte di T-N le oscillazioni erano evidenti sin dal giorno dell'inaugurazione. Quando le oscillazioni si fecero troppo ampie le auto che transitavano in quel momento nel ponte si fermarono e gli autisti, non potendo più guidare l'automezzo a causa delle oscillazioni, si misero in salvo a piedi lasciando le auto al loro destino. Non ci furono vittime, tranne un cane che non ne ha voluto sapere di uscire dall'auto in cui si trovava, nonostante i tentativi del padrone prima e di uno spettatore poi, il quale, nel vano tentativo di fare uscire la bestiola impaurita dall'auto, si prese anche un profondo morso alla mano.

Al giorno d'oggi in cima a delle costruzioni particolarmante alte (come il John Hancock Building a Boston 4(4)) vengono posti enormi oscillatori che lavorano in fase opposta alle oscillazioni naturali dell'edificio, contribuendone e smorzare la ampiezza degli spostamenti nei piani più alti.

Anthony Tonizzo

1
Martin Gardner, Enigmi e giochi Matematici, Sansoni Ed. Vol.5

2
Courant, Robbins, What is Mathematics?, Oxford University Press, 2 ed

3
http://sage.me.utexas.edu/~uer/papers/paper_jk.html

4
http://globalaction.pair.com/boston/pics/hancock.html

 
:: Vota
Vota questo articolo: 1 - 2 - 3 - 4 - 5 (1 = scarso - 5 = ottimo)
 
:: Automatic tags
 
:: Articoli recenti

Dello stesso autore

 
KULT Virtual Press e KULT Underground sono iniziative amatoriali no-profit - per gli e-book e per gli articoli fare riferimento alla sezione Copyright
Webmaster: Marco Giorgini - e-mail: marco @ kultunderground.org - Per segnalazioni o commenti inviare una e-mail a: info @ kultunderground.org
Questo sito è ospitato su server ONE.COM

pagina generata in 188 millisecondi