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1996
25
Mar

Analisi di Fourier (1)

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L'analisi di Fourier

parte prima


Quasi tutti avranno sentito nominare il nome di Fourier anche se molti non si sono mai chiesti che cosa questo geniale matematico abbia realmente studiato e in quali applicazioni i suoi studi abbiano trovato un riscontro pratico.

Jean Baptiste Joseph Fourier, matematico francese, nacque ad Auxerre nel 1768 ma ben presto si allontanò dalla sua città natale per dedicarsi agli studi. La sua vita fu molto attiva sia nel campo scientifico, dato che insegnò al polytechnique di Parigi e diventò membro dell'Academie de siences, sia nel campo politico, quando, seguito Napoleone in Egitto nel 1798, ottenne diversi incarichi amministrativi.
La sua ricerca si diresse inizialmente sullo studio della propagazione del calore da cui trasse ispirazione per concentrarsi, in seguito, verso argomenti strettamente matematici. Furono gli studi sulle serie armoniche (le serie di Fourier) che resero famoso il suo nome.
Morì a Parigi nel 1830.

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Per spiegare la teoria matematica relativa alla conduzione del calore,
Fourier portò come esempio un suo esperimento: prese un anello di un àncora e lo immerse per metà nel fuoco; quando la metà immersa diventò rovente lo estrasse e lo mise in una fine sabbia isolante e ne misurò la temperatura in varie parti della circonferenza. Inizialmente la temperatura era molto elevata nella zona immersa nel fuoco mentre scendeva molto bruscamente nella parte che non era stata scaldata. Via via che il calore si trasferiva per conduzione in tutta la materia dell'anello, la temperatura si distribuiva in modo sempre più uniforme sulla circonferenza.

Se ora si pensa di aprire l'anello, ottenendo così una sbarretta cilindrica di ferro lunga e di piccolo diametro, e si considera la temperatura come una funzione della posizione sulla sbarretta si può affermare che:
- inizialmente abbiamo un gradino di Heaviside, una funzione cioè il cui valore alla sinistra di un dato punto è 0, mentre alla destra è 1; questa è chiaramente una funzione discontinua.
- successivamente la funzione diventa sempre più simile ad una sinusoide, che è una funzione continua.

Fourier ipotizzò che la distribuzione iniziale del calore potesse essere scomposta in una somma di sinusoidi, ciascuna con ampiezza, periodo e fase diversi, dette armoniche. Via via che il calore si propagava, le armoniche di frequenza maggiore (dette armoniche superiori) tendevano a smorzarsi più rapidamente rispetto a quelle di frequenza minore, così da formare una funzione sempre più regolare e
"continua".

Nei successivi anni, Fourier cercò di dare una forma matematica a queste sue ipotesi e, nonostante lo scetticismo con cui colleghi studiosi giudicarono il suo lavoro, ricevette diversi riconoscimenti.
Fourier, infatti, affermava questo: affermazione formale affermazione semplificata
E' comprensibile lo scetticismo degli altri matematici del periodo: infatti, fourier affermava, al contrario di quanto l'analisi sosteneva allora, che una funzione discontinua potesse essere ottenuta come somma di funzioni continue.

Nel caso particolare dell'analisi di Fourier, ogni funzione periodica viene espressa come somma di sinusoidi ciascuna con frequenza multipla rispetto a quella della funzione data; così la prima armonica (detta fondamentale) avrà la frequenza uguale a quella della funzione, la seconda armonica avrà frequenza doppia, la terza frequenza tripla, e così via...
Fare l'analisi di fourier significa trovare quali sono le ampiezze e le fasi di ciascun'armonica.
Una volta effettuata l'analisi si può dare una rappresentazione grafica alle ampiezze delle armoniche, ottenendo così lo spettro della funzione. Da questo grafico si possono capire quali sono le frequenze dominanti all'interno della funzione stessa.
Quest'ultima parte può risultare di difficile comprensione senza un esempio pratico; ho quindi ritenuto opportuno fornire a corredo dell'articolo un programma per l'analisi di Fourier.
Signal Analyzer è un programma didattico Freeware: per poterlo utilizzare è necessario Windows (almeno il 3.1) e la presenza della libreria CTL3D.DLL.
Con il programma si può dare la descrizione di una funzione sia per via analitica che per via grafica (disegnandone la forma con il mouse), dopo di chè verrà eseguita l'analisi sulla funzione e visualizzato lo spettro. Saranno quindi possibili alcune operazioni sulla funzione come il filtraggio di certune componenti armoniche.
Lo spazio è tiranno e devo ora concludere; la prossima volta illustrerò alcune applicazioni pratiche dell'analisi.

Thomas Serafini

 
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:: Thomas Serafini

Thomas Serafini, nato il 12/3/1977, è iscritto all'ultimo anno della facoltà di Matematica a Modena. Lavora come sviluppatore software ed è un musicista dilettante. Su KULT Underground si occupa della parte musicale e cura articoli divulgativi a carattere matematico/scientifico.


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